量子ビット

学習目標

• 古典ビットの値と、量子ビットの状態ベクトルを区別する。
• 計算基底とディラック記法を、隠れた古典値としてではなく座標として使う。
• 複素数の確率振幅から測定確率を計算する。
• 「0 と 1 の両方」という説明が不十分な理由を説明する。

控えめな場面

アリスは静かな観測室に入り、0 と 1 の二つの印だけを持つ真鍮の計器を見つけます。古典的な計器なら、読まれる前からどちらか一方を指している、と考えれば十分です。しかしこの計器を説明するには、それだけでは足りません。

案内役は慎重に言います。これは気まぐれな針でも、魔法の箱でも、二つの答えを同時にしまっている装置でもありません。必要なのは、状態ベクトルとして記述することです。

古典ビット

• モデル上の値は 0 または 1。
• 理想的には、読み取りでその値を知る。
• 確率は値についての無知を表す。

純粋な量子ビット

• 規格化された状態ベクトルで表す。
• 測定は、選んだ基底で一つの古典結果を返す。
• 確率振幅と相対位相が後の操作に影響する。

量子ビットの測定結果は古典的ですが、測定前の状態そのものは古典的な結果ではありません。

古典ビットと量子ビット

古典ビットは、値が 0 か 1 のどちらかである変数としてモデル化できます。どちらか分からない場合には、古典確率を割り当てます。この確率は、値についての情報不足を表します。

一方、単一の純粋な量子ビット状態は、二次元の複素ベクトル空間のベクトルとして表されます。通常は二つの基準ベクトルを選び、それを計算基底（computational basis）と呼びます。

$$|0\rangle,\qquad |1\rangle$$

測定結果には 0 と 1 というラベルが付きますが、測定前の状態が「どちらか分からない古典ビット」だという意味ではありません。

理解度チェック

「量子ビットは 0 と 1 の両方である」という説明が不十分なのはなぜですか。

量子ビットには常に隠れた古典値があるから。量子ビット状態は、二つの古典結果ではなく、選んだ基底に対する確率振幅で記述されるから。測定では必ず両方の結果が同時に出るから。

答えを確認もう一度

二次元の複素状態空間

ディラック記法では、状態ベクトルをケットで書きます。計算基底状態は、列ベクトルとして次のように表せます。

$$|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

任意の純粋な単一量子ビット状態は、次の線形結合で書けます。

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle.$$

( \alpha ) と ( \beta ) は複素数の確率振幅です。確率そのものではありません。複素数は大きさと位相を持ち、量子力学ではその両方が意味を持ちます。確率は、選んだ測定基底に対してボルン則を適用したときに現れます。

規格化

$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$

完全な基底に対する確率の合計は 1 でなければなりません。

計算基底での測定

状態

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$

を計算基底で測定すると、ボルン則により

$$P(0) = |\alpha|^2, \qquad P(1) = |\beta|^2$$

となります。測定結果は古典的な値です。理想的な射影測定では、その試行における測定後状態は、得られた結果に対応する基底状態になります。

0NaN%

1NaN%

振幅が sqrt(0.8) と i sqrt(0.2) の状態では、計算基底測定の確率は 80% と 20% です。位相 i はこの一回の測定確率には見えませんが、後の干渉では意味を持ちます。

計算例

例 1: 基底状態。 ( |\psi\rangle = |0\rangle ) なら、( \alpha=1 )、( \beta=0 ) です。

$$P(0)=|1|^2=1,\qquad P(1)=|0|^2=0.$$

これは量子状態ですが、この測定に関しては決定的です。

例 2: 等しい重ね合わせ。

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$

では、どちらの振幅も絶対値の二乗が (1/2) なので、計算基底測定では 0 と 1 が同じ確率で現れます。ただし、これは単なるコイントスではありません。相対位相は後の操作で観測可能な差になります。

例 3: 複素振幅を含む状態。

$$|\psi\rangle = \sqrt{0.8}|0\rangle + i\sqrt{0.2}|1\rangle$$

では、(0.8+0.2=1) なので規格化されています。計算基底測定の確率は (P(0)=0.8)、(P(1)=0.2) です。係数 (i) の絶対値は 1 なので (P(1)) は変わりませんが、状態の一部として残ります。

よくある誤解

理解度チェック

|ψ⟩ = √0.7|0⟩ + i√0.3|1⟩ を計算基底で測定すると、P(1) はいくつですか。

i√0.30.3-0.3虚数の振幅を含むので無効

答えを確認もう一度

理解度チェック

計算基底測定の確率は同じでも、相対位相が異なる組はどれですか。

|0⟩ と |1⟩(|0⟩ + |1⟩)/√2 と (|0⟩ - |1⟩)/√2|0⟩ と -|0⟩ だけ

答えを確認もう一度

まとめ

まとめ

• 量子ビットは、二次元複素状態空間の規格化されたベクトルで表されます。
• 計算基底 ( |0\rangle, |1\rangle ) は、状態と測定を記述するための座標系です。
• 純粋状態は ( |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle )、規格化条件は ( |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 ) です。
• 計算基底測定では (P(0)=|\alpha|^2)、(P(1)=|\beta|^2) です。
• 位相は一つの測定分布には見えなくても、後の操作で重要になります。

参考文献と発展学習

• Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
• John Preskill, Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation.
• Qiskit Textbook の単一量子ビット状態と測定に関する章。